Metodologia di calcolo degli indicatori
IL CALCOLO DELL’SPI
L’Indice Standardizzato di Precipitazione (SPI) (McKee et al., 1993) è un indicatore statistico basato sul confronto tra la precipitazione registrata in un determinato luogo e in un determinato periodo di t mesi (dove t = 3, 6, 12, 24 mesi, ecc.) con la distribuzione a lungo termine della precipitazione per quel determinato luogo aggregata per lo stesso periodo di tempo t (Bollettino siccità, ISPRA).
Il calcolo dell’indice richiede serie storiche di pioggia molto lunghe. La World Meteorological Organization (WMO) ritiene necessario considerare dati pluviometrici per un periodo di almeno 30 anni consecutivi, in quanto è importante procedere al calcolo dell’SPI considerando informazioni pluviometriche a partire dalla data disponibile più lontana nel tempo. Maggiore sarà l’estensione della serie storica considerata, maggiore sarà la precisione dei risultati conseguiti.
La serie storica di precipitazioni cumulate viene interpolata mediante una distribuzione di probabilità teorica. La comunità scientifica internazionale concorda sul fatto che la distribuzione Gamma sia quella che meglio vada a rappresentare le serie storiche di pioggia cumulata. La procedura per il calcolo dell’SPI (Linee Guida sugli Indicatori di Siccità e Scarsità Idrica redatti dall’ISPRA nel 2018) è di seguito riportata.
Sia X la serie temporale di precipitazione costituita da n osservazioni aggregate al passo temporale t (t = 3, 6, 12, 24 mesi, ecc.).
Per ogni x > 0 la distribuzione Gamma g(x) è definita come:
dove α (> 0) è il parametro di forma, β (> 0) è il parametro di scala e Γ(α) è la funzione gamma. L’interpolazione si ottiene attraverso una stima (indicata con il segno ^) dei parametri α e β mediante il metodo della massima verosimiglianza:
dove
e 
è la media delle osservazioni.
La distribuzione cumulata di probabilità è quindi data da:
Dato che la distribuzione Gamma non è definita per valori di x uguale a zero e la serie delle precipitazioni cumulate può contenere degli zeri (i periodi di non pioggia), la distribuzione cumulata è ridefinita come segue:
dove q è la probabilità di precipitazione nulla, che può essere stimata come il rapporto tra il numero m di zeri nella serie temporale delle precipitazioni e il numero totale di osservazioni di precipitazione:
La distribuzione cumulata H(x) è poi trasformata in una distribuzione normale, pertanto il valor medio dell’SPI per un determinato luogo e periodo di aggregazione considerato è uguale a zero. La trasformazione conserva la probabilità cumulata, cioè la probabilità della variabile di trovarsi al di sotto di un certo valore nella distribuzione gamma è uguale alla probabilità della variabile trasformata normalmente distribuita di trovarsi al di sotto della trasformata di quel valore.
Da un punto di vista computazionale, il valore dell’SPI può essere ottenuto attraverso l’approssimazione proposta in Abramowitz e Stegun (1965) che converte la distribuzione cumulata H(x) a una variabile aleatoria normale Z:
dove si ha che:
Per un determinato luogo, l’indice così calcolato metterà in relazione la quantità di pioggia caduta in un determinato intervallo temporale con la sua climatologia, consentendo così di capire se la località in esame sia affetta o meno da condizioni di siccità.
IL CALCOLO DELL’SPEI
L’Indice Standardizzato di Precipitazione e di Evapotraspirazione (SPEI) è stato inizialmente introdotto dallo studio di Vicente-Serrano et al. (2010) come indice di siccità migliorato per lo studio degli effetti del riscaldamento globale sulla gravità della siccità.
La procedura per il calcolo dell’SPEI va a sfruttare la variabile bilancio idrico climatico costituita dalla differenza tra la precipitazione (P) e l’evapotraspirazione potenziale (PET):
I valori del bilancio idrico climatico mensile (
) possono essere aggregati a scale temporali diverse (3, 6, 12 e 24 mesi, ecc.). Il bilancio idrico 
in un dato mese j e nell’anno i, per la scala temporale k, può essere valutato come:
Questi bilanci idrici climatici aggregati alle diverse scale temporali devono essere modellati attraverso una distribuzione statistica. Per l’indice SPEI, una distribuzione a due parametri non sarebbe adeguata, dal momento che la variabile x è definita su un dominio 0 < x < +∞ e quindi ha un limite inferiore pari a 0. Il bilancio idrico D, invece, può assumere anche valori negativi, per cui è necessario ricorrere ad una distribuzione a tre parametri, secondo la quale la x può assumere valori compresi tra γ < x < +∞, dove γ è il parametro di origine caratteristico della distribuzione adoperata.
Essendo la favorita di molteplici studi scientifici (Vicente-Serrano et al., 2010; Tirivarombo et al., 2018; A. Shekhar e C.A. Shapiro, 2019), la distribuzione Log-Logistica a tre parametri sarebbe la più adeguata.
La funzione densità di probabilità della variabile x ottenuta con una distribuzione Log-Logistica a tre parametri è espressa come:
dove: α, β e γ sono i tre parametri caratteristici della distribuzione, rispettivamente parametri di scala (scale), di forma (shape) e di origine (origin), con x compreso nel range γ < x < +∞.
La funzione distribuzione di probabilità cumulata della variabile x, secondo la distribuzione Log-Logistica, può invece essere scritta come:
La stima dei parametri della distribuzione Log-Logistica è molto importante poiché risulta determinante per la buona comparabilità spaziale e temporale degli indici ai fini di un’accurata analisi e un efficiente monitoraggio della siccità.
I parametri della distribuzione Log-Logistica possono essere ottenuti seguendo la procedura L-moment, approccio che risulta essere robusto e semplice. Quando vengono calcolati gli L-moments, i parametri della distribuzione Log-Logistica possono essere ottenuti seguendo il metodo di Singh et al. (1993):
dove: Γ(β) è la funzione gamma di β.
Secondo lo studio di Beguería et al. (2014), i momenti pesati di probabilità (ws) dovevano essere ottenuti mediante il metodo di stima non distorto dei momenti pesati di probabilità (unPWM), che consentiva di ottenere deviazioni standard delle serie SPEI che non cambiavano con la scala temporale, ossia:
con:
- N numero di dati;
- differenza tra precipitazione ed evapotraspirazione potenziale per il mese .
A questo punto, si può facilmente ottenere l’SPEI come valore standardizzato di F(x). Seguendo l’approccio di Abramowitz e Stegun (1965), l’SPEI può essere espresso come:
dove: 
se
con: 
, probabilità di superamento di un determinato valore di x.
Se 
, invece, P deve essere sostituito da 1 – P e l’indice SPEI risultante va cambiato di segno.
Le costanti all’interno della formula dello SPEI valgono:
I valori medi dell’SPEI calcolato attraverso questa procedura saranno pari a 0, mentre le deviazioni standard varranno 1; questo sia per serie SPEI registrate in siti diversi, sia per quelle registrate nella stessa posizione ma a scale temporali diverse. Per questo motivo, l’SPEI può essere definito come una variabile standardizzata e può quindi essere confrontato con altri valori SPEI nel tempo e nello spazio (Vicente-Serrano et al., 2010; Beguería et al., 2014).
BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA
B. McKee (1993), The relationship of drought frequency and duration to time scales. Eighth Conference on Applied Climatology, 17-22
World Meteorological Organization (2012), Standardized Precipitation Index
Mariani et al. (2018), Linee Guida sugli Indicatori di Siccità e Scarsità Idrica da utilizzare nelle Attività degli Osservatori Permanenti per gli Utilizzi Idrici, Stato Attuale e Prospettive Future, CReIAMO PA
Abramowitz e I. A. Stegun (1965), Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications, 1046
M. Vicente-Serrano et al. (2010), A Multiscalar Drought Index Sensitive to Global Warming: The Standardized Precipitation Evapotranspiration Index, Journal of Climate 23, 1696-1718
Tirivarombo et al. (2018), Drought monitoring and analysis: Standardised Precipitation Evapotranspiration Index (SPEI) and Standardised Precipitation Index (SPI), Physics and Chemistry of the Earth 106, 1-10
Shekhar e C. A. Shapiro (2019), What do meteorological indices tell us about a long-term tillage study?, Soil & Tillage Research 193, 161-170
P. Singh et al. (1993), Parameter estimation for 3-parameter log-logistic distribution (LLD3) by Pome, Stochastic Hydrology and Hydraulics 7, 163-177
Beguería et al. (2014), Standardized precipitation evapotranspiration index (SPEI) revisited: parameter fitting, evapotranspiration models, tools, datasets and drought monitoring, International Journal of Climatology 34, 3001-3023
Bollettino siccità, ISPRA: https://www.isprambiente.gov.it/pre_meteo/siccitas/index.html